收敛什么意思（大自然的鬼斧神工——级数求和）

首先，什么是级数求和呢？我讲内容，总是喜欢让大家先有了直观感受，再随之深入研究。

下面的自然数求和，它等于多少呢？

它等于多少呢？

也许你曾看见过这样离谱的答案：

有些民科为了这个问题提出了自己的见解，但说不出个所以然，不谈公式的适用范围而乱用公式，就是耍流氓。

这个只有黎曼空间中才能成立，我们叫做解析延拓，但是今天我们不讲这个，只是让大家先看一下它的奇怪性质。

黎曼

我们再来看一个好玩的:

它该等于多少呢？

再比如这个相当经典的级数，我们把它称为调和级数：

事实上，显而易见，上面的问题根本就没有答案，它们要么是趋于无穷的，要么就是在振荡，我们把这种算不出结果，振荡或趋于无穷大的级数称为发散。

以后你再听到发散这个词，脑袋中就有“疯狂跳变”，“无穷大”，“没办法算”这样的感觉了。

接着，我们来讲讲求和符号：

有时候，你会看到这样的公式：

它是1-1+1....的简写和缩写

你一下子慌了神：“我的天，好复杂啊！”

其实并不复杂，它代表了一长串小公式合到一块儿写成的大公式：

把I=1234....依次往里面带

只是写法不同而已

我们再来：

两者等价，是一个意思

两者等价，是一个意思

讲完了发散，让我们来聊聊可以求和的级数：

下面是一个相当著名的欧拉级数：当-1<X<1时（注意定义域）

我们用等比数列求和法则，可以得到：

一个小数的无穷大次方将趋于0：

所以，我们可以化简为：

这个公式有什么用呢？比如：

这不正是芝诺飞矢不动悖论的解吗？

于是，我们把这种可以求和的级数称作“收敛”级数。收敛的大致意思就是说我们能求出级数加起来的那个最终结果值（无限逼近）。

级数相生相克，又藕断丝连。可谓取之不尽，用之不竭。